Concepto de función y propiedades  

Posted by Luke

Funciones numéricas
En un gran número de casos, cuando se aplica el concepto de función para describir situaciones reales, los conjuntos A y B entre los que se define la función, resultan ser conjuntos de números; a instantes del tiempo asignamos temperaturas, valores de velocidad, humedad, etc. En general, la variable independiente será una cantidad tal como tiempo, tamaño, posición, etc., y la variable dependiente será alguna propiedad que le asignemos, como la temperatura, la edad, etc. En dichos casos hablamos de funciones numéricas y la citada regla de asociación vendrá dada con frecuencia por una fórmula, del tipo f(x) = - 3x + 5, lo que debe ser entendido así: cada vez que se elija un valor -numérico x de A, le corresponderá el número que se obtenga de sustituir x en la fórmula. Por ejemplo, si el conjunto A es el de todos los números positivos, al 5 se le asociará el 15, ya que al sustituirlo en la fórmula se obtiene
-3(5)+5 = 25-15+5 = 15. En el mismo ejemplo f(3) = 5, ya que -3(3)+5 = 5. De la misma manera se encontrarían los asociados de los demás elementos.

Una razón muy importante de que las reglas de asociación vengan dadas a menudo en forma numérica es que la ciencia en su versión actual intenta describir todo no sólo cualitativamente sino también cuantitativamente; un evento se considera mejor entendido si se le pueden asociar cifras y, mejor aún, si se pueden hacer predicciones de valores de las variables involucradas. Por ejemplo, en la meteorología nos interesa saber los valores de temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. que predominarán en una cierta región en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.

La utilidad de las funciones es muy amplia y variada. Imaginemos, por ejemplo, que se desea saber la concentración de un contaminante en el lecho de un río, por ejemplo, del cadmio. Para ello se realizan un cierto número de mediciones a intervalos de tiempo conocidos y se miden algunas otras variables como son temperatura, densidad, volumen de agua que fluye, etc. Al analizar los datos se da uno cuenta de que las cantidades parecen cumplir una cierta regla, la cual se puede expresar en términos de una función. Con algunas pruebas estadísticas se puede saber si la función que se cree que describe la relación entre las variables ajusta bien a los puntos obtenidos en la medición. Si así fuera el caso, se supone que la función será entonces útil para obtener valores de las concentraciones de cadmio, incluso para rangos de valores diferentes a los que se midieron. Por ejemplo, se podría querer saber qué concentraciones hubo entre dos instantes de tiempo en los que sí hubo mediciones. A dicho proceso se le conoce como "interpolación". Si se deseara saber qué valores de la concentración de cadmio se tendrán para valores más allá del periodo de tiempo en el que se midió, el proceso se llama "extrapolación".
El retrato de una función
Esta gráfica es un ejemplo de cómo crece una población en función del tiempo.
Esta gráfica puede ser sólo una recta o la representación de fenómenos como el movimiento de un objeto a velocidad constante y la fuerza que ejerce un resorte comprimido.
Una parábola puede representar el movimiento de un objeto en caída libre o la resistencia del aire que experimenta un avión en función de su velocidad.
¿Función o ecuación?
En muchos casos concretos la regla de asociación de una función viene dada en forma de una fórmula o ecuación. Esto hace en ocasiones difícil distinguir los conceptos de función y ecuación. Ya vimos que una función consta de un par de conjuntos y una regla de asociación. En el caso de la ecuación tenemos solamente una igualdad entre dos expre-siones que normalmente involucra cantidades desconocidas, llamadas también variables. Las variables se denotan usualmente por las últimas letras del alfabeto (otra idea original de Descartes). Así, por ejemplo, las ecuaciones + x - 4 = 8, y = sen (x), y x = cos (y + z)/4 son ecuaciones en una, dos y tres variables, respectivamente. Se dice que una ecuación se satisface si al reemplazar las variables con los valores correspondientes la igualdad se verifica. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 13 se satisface para x = 4.

Así pues, aunque los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados, es importante distinguir que en el primer caso se trata sólo de una igualdad, mientras que en el segundo se involucran dos conjuntos y una regla de asociación, que puede venir dada en forma de ecuación. Así, por ejemplo, tenemos que para un triángulo de base b, altura h y área A, se satisface la siguiente ecuación A = bh. Esta expresión en particular nos dice que el valor del área de un triángulo está en función de su base y su altura. Aunque para describir eso como una función necesitamos especificar qué elementos constituyen a los conjuntos A y B. Sin conjuntos en los cuales esté definida la relación tenemos una ecuación, no una función.
De la vista nace el amor

A menudo se indica una función por medio de su gráfica. Esto tiene razones prácticas de ser y resulta muy cómodo. Tal es el caso de mediciones de temperatura, -presión, altura de las mareas o velocidad del viento, por mencionar sólo algunos ejemplos.

El ser humano tiene una gran habilidad para interpretar la información que se le presenta en forma visual. Si vemos la gráfica de un proceso, tal como la de la variación de la temperatura diaria en un lugar o la del indicador bursátil, podemos reconocer ciertas tendencias. De la misma manera, si queremos recalcar ten-dencias en el comportamiento de un fenómeno, ya sea oscilatorio, o de incremento o decremento, lo podremos argumentar presentando la información en forma gráfica, es decir, mostrando la gráfica de lo que creemos que es la función que describe el proceso. Quien haya visto una gráfica del crecimiento de la población en nuestro país o en el mundo se podrá dar cuenta inmediatamente que muestra lo que los demógrafos llaman crecimiento exponencial, es decir, un crecimiento cada vez más rápido.

¿Cómo se grafica una función? Veamos un par de ejemplos. Si se tiene una función, f, para la cual tanto el conjunto dominio de la función, A, como el con-tradominio, B, son conjuntos de números, podemos recurrir a las ideas de la geometría analítica para representarla gráficamente. Para ello se utilizan las llamadas coordenadas cartesianas: se trazan dos rectas perpendiculares, la primera de las -cuales se dibuja por lo general horizontalmente y se denota como el eje x, la recta vertical se denota como eje y. Estando ambos ejes marcados cada uno por una unidad específica (de distancia, tiempo, etc.) y subdivididos en las fracciones que sea necesario, se procede a buscar todos los puntos de coordenadas (x,y) donde y = f (x). Por ejemplo, la gráfica de la función y = 2x es una recta que pasa por el origen (el punto donde x y y son iguales a cero) y que tiene pendiente 2; es decir, cualquier punto de la recta se encuentra al doble de distancia del eje horizontal que del vertical. La función cuadrática y = a + bx + , con c diferente de 0, es una parábola.

La función y = 2x podría representar la posición de un objeto que se mueve a velocidad constante (en el eje x se representa el tiempo y en el eje y la posición), o bien la fuerza ejercida por un resorte comprimido (el eje x corresponde a qué tan comprimido está y el eje y a la fuerza que el resorte ejerce). La función cuya gráfica es una parábola puede ser la representación de la distancia (eje y) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo (eje x), o la resistencia del aire (eje y) que afecta a un avión en función de la velocidad (eje x) a la que va.

De lo complejo a lo simple
El estudio de las funciones desde el punto de vista matemático es muy importante, ya que en muchas ocasiones no basta con un análisis visual del comportamiento de una función. Con frecuencia quisiéramos sacar más información de los datos representados. Esto se logra aplicando diferentes técnicas de las matemáticas, como son el cálculo diferencial e integral, las ecuaciones diferenciales, la estadística o el álgebra. Para ello es importante definir la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. ¿Qué ventajas hay en definir funciones nuevas a partir de las originales? Pues bien, habiendo definido estas nuevas funciones se tiene ahora la oportunidad de hacer "álgebra de funciones". Esto tiene aplicaciones muy importantes. Piénsese que se estudia un fenómeno y que se tiene la sospecha de que los datos que se están observando o midiendo son el resultado de la superposición de varios fenómenos. En tal caso, la función que se ajuste a los datos medidos, será el resultado de la suma de varias funciones más. El encontrar dichas funciones puede significar descomponer el fenómeno observado en partes que lo constituyen. Esto quiere decir entender un problema complejo como suma de partes más simples.

Existen muchos tipos de funciones y su clasificación tomaría mucho espacio, baste decir que un tipo muy importante es aquel cuya regla de asociación no se define en forma explícita, sino a través de alguna condición que la función debe satisfacer. Usualmente esto corresponde a una ley de la naturaleza. Más aún, se puede decir que el cálculo diferencial e integral fue inventado para encontrar funciones que satisficieran ciertas leyes de la naturaleza. En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables: las leyes de Kepler , por ejemplo, describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol. Una de ellas nos permite calcular el tiempo que tardan los planetas en recorrer su órbita completa en función de la distancia promedio a la que se encuentran del Sol. Las leyes que aprendemos en las clases de química y física que vienen expresadas en términos de fórmulas nos dicen que cada una de las variables es función de las otras. Así, sabiendo por ejemplo que la ley de Ohm se expresa como V = IR, donde V es el voltaje en un circuito, I la intensidad de corriente, y R la resistencia, si conocemos cualesquiera dos de las variables involucradas, la otra es función de ellas, y podemos calcularla.

El concepto de función es pues no sólo uno de los pilares de la matemática moderna, sino de la ciencia en su conjunto. Sin él no se podría concebir la construcción del conocimiento científico como se hace hoy en día.



Funcion en 3D 
 

This entry was posted on jueves, febrero 17, 2011 at jueves, febrero 17, 2011 . You can follow any responses to this entry through the comments feed .

0 comentarios

Publicar un comentario

<< Entrada más reciente
Entrada antigua >>