Cada enlace da lugar a una parte de las cinco de las que se compone el documental:
Parte uno
Parte dos
Parte tres
Parte cuatro
Parte cinco
Definición: Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios.
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2
Clases de polinomios
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 − 3
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Tipos de polinomios según el número de términos
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x + 5
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
Ejercicios resueltos de polinomios
1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.
1x4 − 3x5 + 2x2 + 5
Grado: 5, término independiente: 5.
2 
+ 7X2 + 2
+ 7X2 + 2 No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.
31 − x4
Grado: 4, término independiente: 1.
4
No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.
5x3 + x5 + x2
Grado: 5, término independiente: 0.
6x − 2 x− 3 + 8
No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.
7
Grado: 3, término independiente: -7/2.
2 Escribe:
1Un polinomio ordenado sin término independiente.
3x4 − 2x
2Un polinomio no ordenado y completo.
3x − x2 + 5 − 2x3
3Un polinomio completo sin término independiente.
Imposible
4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
x4 − x3 − x2 + 3x + 5
Relga de RufiniPaolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.
Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
R = 0
Factorización de polinomios
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
- Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión 
, basta aplicar la propiedad distributiva y decir que
, basta aplicar la propiedad distributiva y decir que 
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión 
, será
, será
donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.
Otro ejemplo: Factorizar 
¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto 
y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da 
pero no 
como me tendría que haber dado.Sin embargo si efectúo 
Otros ejemplos:
- Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.
Se basa en la siguiente fórmula
Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice 
escribo
escribo
Otros ejemplos de factorización por este método:
- Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio
Se basa en las siguientes fórmulas
y 
Así si nos dicen que factoricemos: 
, basta aplicar la fórmula anterior y escribir que
, basta aplicar la fórmula anterior y escribir que
Otros ejemplos de factorización por este método:
- Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo
, siendo a, b y c númerosSe iguala el trinomio a cero 
, se resuelve la ecuación 
, y si tiene dos soluciones distintas, 
y 
se aplica la siguiente fórmula: 
, se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula: Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 
Igualamos a cero 
Resolvemos la ecuación 
, y separando las dos soluciones 
, 
, y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2
, y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2
- Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado 
tiene cuatro raíces enteras, 
, 
, 
y 
se factoriza así:
tiene cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así: 
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini
Ejemplo: Factorizar 
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12
Probemos con uno
Se copian los coeficientes del polinomio:
| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
Y se escribe en una segunda línea el número uno
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | | | | |
| | | | | | |
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | | | | |
| | 1 | | | | |
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | 1 | | | |
| | 1 | | | | |
Se suma –4+1=-3
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | 1 | | | |
| | 1 | -3 | | | |
Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | 1 | -3 | | |
| | 1 | -3 | | | |
Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | 1 | -3 | -4 | 12 |
| | 1 | -3 | -4 | 12 | 0 |
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.
Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.
Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que
Dividendo=Divisor x Cociente+Resto
=
=
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.
Aplicando sucesivas veces esta regla queda:
| | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
| 1 | | 1 | -3 | -4 | 12 |
| | 1 | -3 | -4 | 12 | 0 |
| 2 | | 2 | -2 | -12 | |
| | 1 | -1 | -6 | 0 | |
| -2 | | -2 | 6 | | |
| | 1 | -3 | 0 | | |
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3
La factorización final es:
= 
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.
EN RESUMEN
Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.
EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios
1.- 
Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común
El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:
=
2.- 
Primero sacamos factor común: 
Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: 
= 
= Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:
=
El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda 
que no tiene solución real.3.- 
Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini:
| | 1 | -12 | 41 | -30 |
| 1 | | 1 | -11 | 30 |
| | 1 | -11 | 30 | 0 |
| 5 | | 5 | -30 | |
| | 1 | -6 | 0 | |
=
4.- 
Primero sacamos factor común
=
Igualamos a cero el paréntesis y resolvemos la ecuación: 
que origina dos soluciones, -3 y –2, por tanto la factorización completa es:
que origina dos soluciones, -3 y –2, por tanto la factorización completa es:
=
