Concepto de función y propiedades  

Posted by Luke

En matemáticas, una función aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

f \colon X \to Y \,

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.
Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:

Función Cuadrática
Función Lineal
Función Logarítmica
Función Exponencial
El principal objetivo de este trabajo es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios.
FUNCIÓNES
Una Función Es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.       
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.
Donde se dice que f : A B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)
 
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
 
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.
 
También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.
  • Variables dependientes
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
  • Variable independiente
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
  • Variable constante
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:
Y=2, la constante gravitacional, entre otras.
 
   
FUNCION CUADRATICA
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
f(x) = ax2 + bx +c
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:
  • f(x) = x2
  • f(x) = -x2
  • Obtención
El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.
Como toda función cuadrática pasa por el punto (0, c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.
  • Intersección de la parábola con los ejes
  • Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
  • Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:






  • Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.











  • Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).











  • Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX.







    • Resumen
    Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:
    • Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.
    • Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
    • Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
    • Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
    • Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)
    • Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.
    • La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.
      FUNCIÓN LOGARÍTMICA
      Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. 
      El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. 
      Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 
      Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
      a>1
      0<a<1
      La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R* + en R:
    • La función logarítmica solo está definida sobre los números
    Positivos.
    • Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
    • La función logarítmica de base a es la recíproca de la Función
    Exponencial de base ¨a¨.
    • Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de
    base e = 2'718281...
    Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la
    Forma
    Se hallan por medio de la fórmula:
    LOGARITMOS
    A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
    Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
    • Definición
    Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base
    para obtener dicho número.
    Que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también :
    "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a".
    Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
    La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia a^ b para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
    La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :
    Es la función inversa de la función exponencial.
    La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)
    • Propiedades
    • Logaritmos Decimales
    Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
    • Logaritmos Neperianos
    Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por
    base el número e.
    • Cambio de Base
    • Antilogaritmo
    Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
    es decir, consiste en elevar la base al número resultado
    • Cologaritmo

    Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.
    • Equivalencias útiles

    • Ecuaciones Logarítmicas :
    Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.
    La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas.
    (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones
    logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos")
    Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.
    • Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas
    Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incógnitas está sometida a la operación logaritmo.
    Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.
    • Características útiles
    Si a > 1
    Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
    Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo
    Si 0 < a < 1
    Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo
    Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo
    FUNCIÓN EXPONENCIAL
    En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.
    • Definición
    Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
    La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:
    'Funciones 
matemáticas'
    'Funciones matemáticas'
    Representación gráfica de varias funciones exponenciales.
    'Funciones matemáticas'
    Función exponencial, según el valor de la base.
    • Propiedades de las funciones exponenciales
    Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:
    • La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
    f (0) = a0 = 1.
    • La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
    f (1) = a1 = a.
    • La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.
    f (x + x?) = ax+x? = ax ð ax? = f (x) ð f (x?).
    • La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
    f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).
    • La función ex
    Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:
    (1 + 1/n)n
    Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos.
    La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.
    • Ecuaciones exponenciales
    Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.
    Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:
    • Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:
    Ax = Ay.
    En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
    • Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.
    22x - 3 ð 2x - 4 = 0 'Funciones matemáticas'
    t2 - 3t - 4 = 0
    luego se ?deshace? el cambio de variable.
    Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.
    • El ajedrez y los granos de trigo
    Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición: 264+ 263 + ... + 22 +
    + 2 granos de trigo, una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino. Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 2x, para el dominio
    x = 1, 2, 3, ..., 64.
    • EL interés continúo 
    El capital obtenido de la inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la fórmula:
    C = C0 (1 + r / n)nt,siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión .
    Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:
    C = C0 · ert.
    Desintegración radiactiva
    Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será:
    R = R0 × e-kt.
    Crecimiento demografico
    Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley
    exponencial: P = P0 × eit.
    FUNCIÓN LINEAL
    Son lineas rectas que representan cambios de constante, es decir que el valor de y es igual a un número real por el valor de la
    Su ecuación es: y = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" se denomina pendiente.
    y = mx
    su gráfica es una linea recta que pasa por el origen de coordenadas.
    y = 2x
    x01234
    y = 2x02468
    • Pendiente
    La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
    Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo
    Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

    1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

    A) LIMITE EN UN PUNTO.
    A1) Límite finito:
    Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por
    (Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)

    A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
    B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
    B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

    B2) con .

    B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

    B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

    B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

    B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

    C) LIMITES LATERALES.
    C1) Límite por la izquierda:
    C2) Límite por la derecha:
    TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

    TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

    Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

    2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

    A) LIMITES EN EL INFINITO.
    A1) Límite finito.


    A2) Límite infinito.

    Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

    B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.
    B1) Asíntotas verticales.
    Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

    B2) Asíntotas horizontales.
    Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

    B3) Asíntotas oblicuas.
    Dada la función y = f(x), si se verifica que

    a)     b)     c)  
    entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

    3. Cálculo de límites.

    A) INDETERMINACIÓN
    En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
    Ejemplo.-

      
    En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
    Ejemplo.-

      
    B) INDETERMINACIÓN
    En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
    Ejemplo.-

      
    C) INDETERMINACIÓN
    Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
    Ejemplo.-

      
    En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
    Ejemplo.-

      
    D) INDETERMINACIÓN
    En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
    Ejemplos.-

        

    E) INDETERMINACIONES - -
    Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

    de donde resulta que:
    pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
    Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
    F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
    En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

    Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:
        (Usa la fórmula del sen(x/2))
    En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

    4. Función continua en un punto y en un intervalo.

    Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
    1. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
    2. Existe el .
    3. Ambos valores coinciden, es decir .
    Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:
    Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).
    Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .
    Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .
    Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
    1. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
    2. y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
    3. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
    TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata)
    Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:
    TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
    Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

    Demostración:
    Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
    Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

    Es decir:
    Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar) TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
    Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

    Demostración:
    Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

    de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a.

    5. Operaciones con funciones continuas.

    Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
    1. es continua en x=a.
    2. es continua en x=a.
    3. es continua en x=a si .
    4. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
    TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en x=a.
    Demostración:



    De lo dicho anteriormente resulta que:


    6. Discontinuidades.

    Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

    TIPOS DE DISCONTINUIDADES
    A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).

    B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

    C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

    D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
    Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

    Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor .

    Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.

    7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

    TEOREMA DE BOLZANO
    Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha función en los extremos del intervalo, es decir, tal que f(c)=0.

    Demostración:
    Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).
    Si el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).
    Sea el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.
    Si el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, obteniéndose una sucesión de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesión define un número real . Demostremos que f(c)=0.
    Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0.
    Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.)

    TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo [a,b].
    Demostración:
    A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].
    Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio y los subintervalos y f(x) no está acotada en uno de ellos, al menos, que llamaremos . Dividamos en dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no está acotada. Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no está acotada.
    Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua en c por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los , donde la función no estaba acotada. Llegamos a una contradicción, luego f(x) está acotada en [a,b].
    B) Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo).
    Si f(x) está acotada en [a,b] siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema estará demostrado.
    g(x) está acotada en [a,b] M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b].
    Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b] f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. ( Su demostración es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.



    CONCLUSIÓN

    Tras el estudio de las funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias.
    El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo del trabajo los diferentes usos de las funciones y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, queda como un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

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