En muchos casos concretos la regla de asociación de una función viene dada en forma de una fórmula o ecuación. Esto hace en ocasiones difícil distinguir los conceptos de función y ecuación. Ya vimos que una función consta de un par de conjuntos y una regla de asociación. En el caso de la ecuación tenemos solamente una igualdad entre dos expre-siones que normalmente involucra cantidades desconocidas, llamadas también variables. Las variables se denotan usualmente por las últimas letras del alfabeto (otra idea original de Descartes). Así, por ejemplo, las ecuaciones + x - 4 = 8, y = sen (x), y x = cos (y + z)/4 son ecuaciones en una, dos y tres variables, respectivamente. Se dice que una ecuación se satisface si al reemplazar las variables con los valores correspondientes la igualdad se verifica. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 13 se satisface para x = 4.

Así pues, aunque los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados, es importante distinguir que en el primer caso se trata sólo de una igualdad, mientras que en el segundo se involucran dos conjuntos y una regla de asociación, que puede venir dada en forma de ecuación. Así, por ejemplo, tenemos que para un triángulo de base b, altura h y área A, se satisface la siguiente ecuación A = bh. Esta expresión en particular nos dice que el valor del área de un triángulo está en función de su base y su altura. Aunque para describir eso como una función necesitamos especificar qué elementos constituyen a los conjuntos A y B. Sin conjuntos en los cuales esté definida la relación tenemos una ecuación, no una función.

A menudo se indica una función por medio de su gráfica. Esto tiene razones prácticas de ser y resulta muy cómodo. Tal es el caso de mediciones de temperatura, -presión, altura de las mareas o velocidad del viento, por mencionar sólo algunos ejemplos.

El ser humano tiene una gran habilidad para interpretar la información que se le presenta en forma visual. Si vemos la gráfica de un proceso, tal como la de la variación de la temperatura diaria en un lugar o la del indicador bursátil, podemos reconocer ciertas tendencias. De la misma manera, si queremos recalcar ten-dencias en el comportamiento de un fenómeno, ya sea oscilatorio, o de incremento o decremento, lo podremos argumentar presentando la información en forma gráfica, es decir, mostrando la gráfica de lo que creemos que es la función que describe el proceso. Quien haya visto una gráfica del crecimiento de la población en nuestro país o en el mundo se podrá dar cuenta inmediatamente que muestra lo que los demógrafos llaman crecimiento exponencial, es decir, un crecimiento cada vez más rápido.

¿Cómo se grafica una función? Veamos un par de ejemplos. Si se tiene una función, f, para la cual tanto el conjunto dominio de la función, A, como el con-tradominio, B, son conjuntos de números, podemos recurrir a las ideas de la geometría analítica para representarla gráficamente. Para ello se utilizan las llamadas coordenadas cartesianas: se trazan dos rectas perpendiculares, la primera de las -cuales se dibuja por lo general horizontalmente y se denota como el eje x, la recta vertical se denota como eje y. Estando ambos ejes marcados cada uno por una unidad específica (de distancia, tiempo, etc.) y subdivididos en las fracciones que sea necesario, se procede a buscar todos los puntos de coordenadas (x,y) donde y = f (x). Por ejemplo, la gráfica de la función y = 2x es una recta que pasa por el origen (el punto donde x y y son iguales a cero) y que tiene pendiente 2; es decir, cualquier punto de la recta se encuentra al doble de distancia del eje horizontal que del vertical. La función cuadrática y = a + bx + , con c diferente de 0, es una parábola.

La función y = 2x podría representar la posición de un objeto que se mueve a velocidad constante (en el eje x se representa el tiempo y en el eje y la posición), o bien la fuerza ejercida por un resorte comprimido (el eje x corresponde a qué tan comprimido está y el eje y a la fuerza que el resorte ejerce). La función cuya gráfica es una parábola puede ser la representación de la distancia (eje y) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo (eje x), o la resistencia del aire (eje y) que afecta a un avión en función de la velocidad (eje x) a la que va.
El estudio de las funciones desde el punto de vista matemático es muy importante, ya que en muchas ocasiones no basta con un análisis visual del comportamiento de una función. Con frecuencia quisiéramos sacar más información de los datos representados. Esto se logra aplicando diferentes técnicas de las matemáticas, como son el cálculo diferencial e integral, las ecuaciones diferenciales, la estadística o el álgebra. Para ello es importante definir la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. ¿Qué ventajas hay en definir funciones nuevas a partir de las originales? Pues bien, habiendo definido estas nuevas funciones se tiene ahora la oportunidad de hacer "álgebra de funciones". Esto tiene aplicaciones muy importantes. Piénsese que se estudia un fenómeno y que se tiene la sospecha de que los datos que se están observando o midiendo son el resultado de la superposición de varios fenómenos. En tal caso, la función que se ajuste a los datos medidos, será el resultado de la suma de varias funciones más. El encontrar dichas funciones puede significar descomponer el fenómeno observado en partes que lo constituyen. Esto quiere decir entender un problema complejo como suma de partes más simples.

Existen muchos tipos de funciones y su clasificación tomaría mucho espacio, baste decir que un tipo muy importante es aquel cuya regla de asociación no se define en forma explícita, sino a través de alguna condición que la función debe satisfacer. Usualmente esto corresponde a una ley de la naturaleza. Más aún, se puede decir que el cálculo diferencial e integral fue inventado para encontrar funciones que satisficieran ciertas leyes de la naturaleza. En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables: las leyes de Kepler , por ejemplo, describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol. Una de ellas nos permite calcular el tiempo que tardan los planetas en recorrer su órbita completa en función de la distancia promedio a la que se encuentran del Sol. Las leyes que aprendemos en las clases de química y física que vienen expresadas en términos de fórmulas nos dicen que cada una de las variables es función de las otras. Así, sabiendo por ejemplo que la ley de Ohm se expresa como V = IR, donde V es el voltaje en un circuito, I la intensidad de corriente, y R la resistencia, si conocemos cualesquiera dos de las variables involucradas, la otra es función de ellas, y podemos calcularla.

El concepto de función es pues no sólo uno de los pilares de la matemática moderna, sino de la ciencia en su conjunto. Sin él no se podría concebir la construcción del conocimiento científico como se hace hoy en día.



Funcion en 3D 
 

Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:

Función Cuadrática
Función Lineal
Función Logarítmica
Función Exponencial
El principal objetivo de este trabajo es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios.
Una Función Es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.       
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.
Donde se dice que f : A B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)
 
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
 
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.
 
También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

• Variables dependientes

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

• Variable independiente

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

• Variable constante

Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:
Y=2, la constante gravitacional, entre otras.
 
   
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
f(x) = ax2 + bx +c
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

• f(x) = x2
• f(x) = -x2

• Obtención

El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.
Como toda función cuadrática pasa por el punto (0, c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.

• Intersección de la parábola con los ejes

• Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
• Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.

Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).

Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX.

• Resumen

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

• Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.
• Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
• Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
• Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
• Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)
• Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.
• La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.
  
  FUNCIÓN LOGARÍTMICA
  Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. 
  El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. 
  Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 
  Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
  a>1
  0<a<1
  La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R* + en R:
  
• La función logarítmica solo está definida sobre los números

Positivos.

• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
• La función logarítmica de base a es la recíproca de la Función

Exponencial de base ¨a¨.

• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de

base e = 2'718281...
Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la
Forma
Se hallan por medio de la fórmula:
LOGARITMOS
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

• Definición

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base
para obtener dicho número.
Que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también :
"el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a".
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia a^ b para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :
Es la función inversa de la función exponencial.
La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

• Propiedades

• Logaritmos Decimales

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

• Logaritmos Neperianos

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por
base el número e.

• Cambio de Base

• Antilogaritmo

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
es decir, consiste en elevar la base al número resultado

• Cologaritmo

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

• Equivalencias útiles

• Ecuaciones Logarítmicas :

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas.
(principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones
logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos")
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.

• Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas

Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incógnitas está sometida a la operación logaritmo.
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

• Características útiles

Si a > 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 < a < 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo
En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

• Definición

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:


Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

• Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

• La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = a0 = 1.

• La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = a1 = a.

• La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x?) = ax+x? = ax ð ax? = f (x) ð f (x?).

• La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

• La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:
(1 + 1/n)n
Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos.
La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

• Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.
Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

• Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:

Ax = Ay.
En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

• Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

22x - 3 ð 2x - 4 = 0
t2 - 3t - 4 = 0
luego se ?deshace? el cambio de variable.
Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

• El ajedrez y los granos de trigo

Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición: 264+ 263 + ... + 22 +
+ 2 granos de trigo, una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino. Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 2x, para el dominio
x = 1, 2, 3, ..., 64.

• EL interés continúo 

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la fórmula:
C = C0 (1 + r / n)nt,siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión .
Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:
C = C0 · ert.
Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será:
R = R0 × e-kt.
Crecimiento demografico
Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley
exponencial: P = P0 × eit.
Son lineas rectas que representan cambios de constante, es decir que el valor de y es igual a un número real por el valor de la
Su ecuación es: y = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" se denomina pendiente.
y = mx
su gráfica es una linea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x

x	0	1	2	3	4
y = 2x	0	2	4	6	8

• Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

A) LIMITE EN UN PUNTO.
A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por
(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

C) LIMITES LATERALES.
C1) Límite por la izquierda:
C2) Límite por la derecha:
TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN EL INFINITO.
A1) Límite finito.


A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.
B1) Asíntotas verticales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función
B2) Asíntotas horizontales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función
B3) Asíntotas oblicuas.
Dada la función y = f(x), si se verifica que

a)     b)     c)  

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - -
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
de donde resulta que: pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:
Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

    (Usa la fórmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

4. Función continua en un punto y en un intervalo.

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

1. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
2. Existe el .
3. Ambos valores coinciden, es decir .

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:
Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:

1. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
2. y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
3. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.

TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para: TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).
Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir: Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar) TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.
Demostración:
Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a.

5. Operaciones con funciones continuas.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:

1. es continua en x=a.
2. es continua en x=a.
3. es continua en x=a si .
4. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en x=a.
Demostración:



De lo dicho anteriormente resulta que:

6. Discontinuidades.

Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES
A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).

B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor .

Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.

7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

TEOREMA DE BOLZANO
Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha función en los extremos del intervalo, es decir, tal que f(c)=0.
Demostración:
Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).
Si el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).
Sea el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.
Si el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, obteniéndose una sucesión de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesión define un número real . Demostremos que f(c)=0.
Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0.
Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.)
TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo [a,b].
Demostración:
A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].
Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio y los subintervalos y f(x) no está acotada en uno de ellos, al menos, que llamaremos . Dividamos en dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no está acotada. Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no está acotada.
Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua en c por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los , donde la función no estaba acotada. Llegamos a una contradicción, luego f(x) está acotada en [a,b].
B) Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo).
Si f(x) está acotada en [a,b] siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema estará demostrado.
g(x) está acotada en [a,b] M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b].
Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b] f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. ( Su demostración es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.

Tras el estudio de las funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo del trabajo los diferentes usos de las funciones y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, queda como un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.